[ Pobierz całość w formacie PDF ]

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
2. Znajdz
krzywa’ o tej w lrzednych
lasności, że trapez utworzony przez osie wspó
’
Ox i Oy, styczna’ do krzywej i prosta’ prostopad a’ do osi Ox w punkcie
l
styczności, ma sta pole równe 3a2.
le
3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwiazania równania x2 2 + ax2 + bx = 0 sa’
’
ograniczone na ca prostej?
lej
20 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
’
1. Rozwia’ż równanie różniczkowe
t3
3t2 (1 + ln x) dt = 2x - dx
x
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
’
tx2 2 - (2t + 1)x2 + (t + 1)x = 0
wiedzac, że jego ca szczególna’ jest funkcja postaci e±t.
lka’
’
3. Znajdz
fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
’ ’
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + tx2 - 2t2 + 1 x = 0.
67
Rozdzia 9. Dodatek
l
4. Wyznacz ca szczególna’ uk równaÅ„
lke ladu
’
ëø öø
0 -1 1
íø øø
x2 = 0 0 1 x
-1 0 1
ëø öø
1
1
íø øø
spe .
lniajaca’ warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
’ ’ 2
1
2
5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilności dla uk
ladu
ñø
dx
= -x + ±y
òø
dt
dy
= ²x - y + ±z
dt
óø
dz
= ²y - z,
dt
gdzie ±, ² sa’ parametrami rzeczywistymi.
Cześć teoretyczna:
’
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
’
xIV + 2x2 2 2 + ax2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
’
ficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspó
lrzednych
’ ’
ma sta a’ d d.
l lugość
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza’ uk z zadania (4) w czeÅ›ci zadaniowej tj.
ladu
’
ëø öø
0 -1 1
íø øø
A = 0 0 1 .
-1 0 1
13 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
’
1. Rozwia’ż problem poczatkowy Cauchy ego
’
t2 + x2 dt - 2tx dx = 0, x(4) = 0.
2. Rozwia’ż równanie
t t
+ 1 dt + - 1 dx = 0.
x x
3. Znajdz
ca ogólna’ równania
lke
’
x(6) + 2x(4) + x(2) = 0.
4. Wyznacz ca szczególna’ uk równaÅ„
lke ladu
’
ëø öø
5 -1 -4
íø øø
x2 = -12 5 12 x
10 -3 -9
68
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
ëø öø
1
íø øø
spe
lniajaca’ warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1 .
’ ’
1
5. Znajdz
uk fundamentalny rozwiazań w postaci szeregów potegowych unor-
lad
’ ’
mowanych w punkcie t0 = 0 równania:
1
x2 2 + x = 0
1 - t
i określ rozwiazanie ogólne.
’
Cześć teoretyczna:
’
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
’
xIV + 2x2 2 2 + ax2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
’
ficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspó
lrzednych
’ ’
ma sta a’ d d.
l lugość
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza’ uk z zadania (4) w czeÅ›ci zadaniowej tj.
ladu
’
ëø öø
0 -1 1
íø øø
A = 0 0 1 .
-1 0 1
27 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
’
1. Rozwia’ż równanie
2
x + 2
x2 = 2
t + x - 1
2. Odgadnij rozwiazanie szczególne, a nastepnie rozwia’ż równanie Riccatiego
’ ’
x2 - 2tx + x2 = 5 - t2
1
3. Wiedzac, że funkcja x (t) = jest rozwiazaniem szczególnym równania
’ t ’
2t2x2 2 + 3tx2 - x = 0 rozwia’ż równanie
1
2t2x2 2 + 3tx2 - x =
t
(obniżajac jego rzad jednym z dwóch poznanych sposobów) a nastepnie wskaż
’ ’ ’
jego ca spe
lke lniajaca’ warunki poczatkowe x (1) = 1, x2 (1) = -4.
’ ’ ’ 3
4. Znajdz
ca ogólna’ uk równaÅ„:
lke ladu
’
-1 2 2et
x2 = x +
1 1 0
69
Rozdzia 9. Dodatek
l
5. Rowia’ż równanie
1
x2 2 + 3x2 + 2x =
et + 1
Cześć teoretyczna:
’
1. Znajdz
krzywa’ o tej w ladu lrzednych
lasności, że trapez utworzony przez osie uk wspó
’
Ox, Oy, styczna’ do krzywej i prosta’ prostopad a’ do osi Ox w punkcie stycznoÅ›ci,
l
ma sta pole równe 3a2.
le
2. Dla jakich a i b równanie x2 2 +ax2 +bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
’
x (t) = 0 takie, że lim x (t) = 0.
t’!+"
3. Zbadaj stabilność wszystkich po równowagi uk
lożeń ladu
x2 = ln (y2 - x)
y2 = x - y - 1
Definicja. Niech X przestrzeÅ„ Banacha, f : X ƒ" U ’! X, u : R ƒ" I ’! X,
U " topX, I " topR. Po ladu
lożeniem równowagi uk u2 = f (u) nazywamy
É" " U takie, że f (É") = 0.
10 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
’
1. Wyznacz ca szczególna’ równania różniczkowego
lke
’
t(x2 + x2) = x
spe
lniajaca’ warunek poczatkowy x(1) = 1.
’ ’
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
’
tx2 2 - x2 - 4t3x = 0,
2
wiedzac, że jego ca szczególna’ jest funkcja et .
lka’
’
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
’
2
x2 2 + x2 + x = 0.
t
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0.
4. Wyznacz ca szczególna’ uk równaÅ„
lke ladu
’
-1 -6
x2 = x
3 5
2
spe .
lniajaca’ warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
’ ’
2
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu
x2 = xy
y2 = x2 + y2 - 4
i zbadaj ich stabilność.
70
9.2. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych  studia dzienne
ladowe
6. Przy pomocy transformaty Laplace a rozwia’ż równanie
x2 2 - 2x2 + x = 1 + t, x(0) = 0, x2 (0) = 0.
Cześć teoretyczna:
’
1. Rozważamy dwuwymiarowy uk równań:
lad
x2 = ax + by
y2 = cx + dy,
gdzie a, b, c, d " R. Wykaż, że jeÅ›li jedno z jego rozwiazaÅ„ jest funkcja’ okre-
’
sowa, to wszystkie rozwiazania, oprócz rozwiazania zerowego, sa’ funkcjami
’ ’ ’
okresowymi.
2. Wyznacz równanie krzywej przechodzacej przez punkt (1, 1), dla której pole
’
trójkata utworzonego przez oÅ› Ot, styczna’ i wektor wodzacy punktu stycznoÅ›ci
’ ’
jest sta i równa sie 1.
le
’
3. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
’
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
17 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
’
1. Wyznacz ca ogólna’ równania
lke
’
"
xdx = (tdx + xdt) 1 + x2.
2. Rozwia’ż równanie
x2 - 2tx + x2 = 5 - t2.
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
’
t(t - 1)x2 2 + (1 + t)x2 - x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0, lub t0 = 1.
4. Wyznacz ca szczególna’ uk równaÅ„
lke ladu
’
5 3
x2 = x
-3 -1
1
spe .
lniajaca’ warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) =
’ ’
-1
5. Wyznacz wszystkie po równowagi uk
lożenia ladu
x2 = -x + y
y2 = x + y - 2xy
i zbadaj ich stabilność.
71
Rozdzia 9. Dodatek
l
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz ca sczególna’ uk równaÅ„
lke ladu
’
x2 = -2y + 3t
y2 = 2x + 4
spe
lniajaca’ warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = 3.
’ ’
Cześć teoretyczna:
’
1. Jakie warunki musza’ spe wartoÅ›ci i wektory w macierzy uk
lniać lasne ladu:
x2 = ax + by
y2 = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spe [ Pobierz całość w formacie PDF ]